11.1 Más allá de una duda razonable: in dubio pro reo
¿Le ponemos números? Veamos un caso en el que se localizan rastros de sangre de un presunto homicida en la escena de un crimen. El análisis forense encuentra que este tipo de sangre se puede encontrar en \(\frac{1}{15,000}\) personas en la población de referencia. Con base en este dato podemos calcular el momio de que se presente la evidencia, considerando que ya sabemos que el culpable tiene ese tipo de sangre, por lo tanto lo conocemos con probabilidad 1:
o_evidencia <- 1 / (1 / 15000)
o_evidencia## [1] 15000Para aplicar Bayes sólo falta conocer las opciones de culpabilidad a priori que tendría el sospechoso, independientemente de las pruebas de sangre. Un planteamiento razonable sería pensar que estamos en una región de 2,000,000 de habitantes y aceptamos que el culpable debe vivir necesariamente aquí. Ahora, aplicamos la versión de momios de la regla de Bayes.
o_culpable_a_priori <- 1 /(2000000 - 1)
o_evidencia_culpable <- o_evidencia * o_culpable_a_priori
o_evidencia_culpable## [1] 0.007500004Por lo tanto, el presunto asesino tiene un momio de 0.0075 en su contra.
Como un momio es una razón de probabilidades, entonces \[ O=\frac{P(A)}{P(no A)}=\frac{P(A)}{1-P(A)} \implies P(A)=\frac{O}{1+O} \] lo que permite calcular la probabilidad de ser culpable a la luz de la evidencia, en este caso: 0.74%. ¿Qué cabría decidir en el juicio?
Qué pasa con la decisión si el crimen ocurre en una población aislada de sólo 20,000 habitantes?
o_culpable_a_priori <- 1 /(20000 - 1)
o_evidencia_culpable <- o_evidencia * o_culpable_a_priori
o_evidencia_culpable## [1] 0.7500375En este otro escenario el presunto asesino tiene un momio de 0.7500375 en su contra y por lo tanto, la nueva probabilidad de ser culpable a la luz de la evidencia es: 42.86%. ¿Qué cabría decidir ahora en el juicio?